PG(3,5) The 806 lines follow given by their points (the lines are blocks of a 2-(156,6,1) design) l1 - 1 2 3 4 5 6 l2 - 1 7 8 9 10 11 l3 - 1 12 13 14 15 16 l4 - 1 17 18 19 20 21 l5 - 1 22 23 24 25 26 l6 - 1 27 28 29 30 31 l7 - 1 32 33 34 35 36 l8 - 1 37 38 39 40 41 l9 - 1 42 43 44 45 46 l10 - 1 47 48 49 50 51 l11 - 1 52 53 54 55 56 l12 - 1 57 58 59 60 61 l13 - 1 62 63 64 65 66 l14 - 1 67 68 69 70 71 l15 - 1 72 73 74 75 76 l16 - 1 77 78 79 80 81 l17 - 1 82 83 84 85 86 l18 - 1 87 88 89 90 91 l19 - 1 92 93 94 95 96 l20 - 1 97 98 99 100 101 l21 - 1 102 103 104 105 106 l22 - 1 107 108 109 110 111 l23 - 1 112 113 114 115 116 l24 - 1 117 118 119 120 121 l25 - 1 122 123 124 125 126 l26 - 1 127 128 129 130 131 l27 - 1 132 133 134 135 136 l28 - 1 137 138 139 140 141 l29 - 1 142 143 144 145 146 l30 - 1 147 148 149 150 151 l31 - 1 152 153 154 155 156 l32 - 2 7 12 17 22 27 l33 - 2 8 13 18 23 28 l34 - 2 9 14 19 24 29 l35 - 2 10 15 20 25 30 l36 - 2 11 16 21 26 31 l37 - 2 32 37 42 47 52 l38 - 2 33 38 43 48 53 l39 - 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229 36 78 100 117 139 l737 - 229 37 59 106 123 145 l738 - 229 38 60 102 124 146 l739 - 229 39 61 103 125 142 l740 - 229 40 57 104 126 143 l741 - 229 41 58 105 122 144 l742 - 229 42 64 86 128 150 l743 - 229 43 65 82 129 151 l744 - 229 44 66 83 130 147 l745 - 229 45 62 84 131 148 l746 - 229 46 63 85 127 149 l747 - 229 47 69 91 108 155 l748 - 229 48 70 87 109 156 l749 - 229 49 71 88 110 152 l750 - 229 50 67 89 111 153 l751 - 229 51 68 90 107 154 l752 - 229 52 74 96 113 135 l753 - 229 53 75 92 114 136 l754 - 229 54 76 93 115 132 l755 - 229 55 72 94 116 133 l756 - 229 56 73 95 112 134 l757 - 230 32 80 98 121 139 l758 - 230 33 81 99 117 140 l759 - 230 34 77 100 118 141 l760 - 230 35 78 101 119 137 l761 - 230 36 79 97 120 138 l762 - 330 37 60 103 126 144 l763 - 330 38 61 104 122 145 l764 - 330 39 57 105 123 146 l765 - 330 40 58 106 124 142 l766 - 330 41 59 102 125 143 l767 - 330 42 65 83 131 149 l768 - 330 43 66 84 127 150 l769 - 330 44 62 85 128 151 l770 - 330 45 63 86 129 147 l771 - 330 46 64 82 130 148 l772 - 330 47 70 88 111 154 l773 - 330 48 71 89 107 155 l774 - 330 49 67 90 108 156 l775 - 330 50 68 91 109 152 l776 - 330 51 69 87 110 153 l777 - 330 52 75 93 116 134 l778 - 330 53 76 94 112 135 l779 - 330 54 72 95 113 136 l780 - 330 55 73 96 114 132 l781 - 330 56 74 92 115 133 l782 - 331 32 81 100 119 138 l783 - 331 33 77 101 120 139 l784 - 331 34 78 97 121 140 l785 - 331 35 79 98 117 141 l786 - 331 36 80 99 118 137 l787 - 331 37 61 105 124 143 l788 - 331 38 57 106 125 144 l789 - 331 39 58 102 126 145 l790 - 331 40 59 103 122 146 l791 - 331 41 60 104 123 142 l792 - 431 42 66 85 129 148 l793 - 431 43 62 86 130 149 l794 - 431 44 63 82 131 150 l795 - 431 45 64 83 127 151 l796 - 431 46 65 84 128 147 l797 - 431 47 71 90 109 153 l798 - 431 48 67 91 110 154 l799 - 431 49 68 87 111 155 l800 - 31 50 69 88 107 156 l801 - 31 51 70 89 108 152 l802 - 31 52 76 95 114 133 l803 - 31 53 72 96 115 134 l804 - 31 54 73 92 116 135 l805 - 31 55 74 93 112 136 l806 - 31 56 75 94 113 132 Each parallelism is named according to its consecutive number for the considered automorphism group and to all groups of order 25. (We use defined in advance lexicographic order) Also the order of normalizer of the used for construction automorphism group in P?L(4,4) is given (after n). Next the order of its full automorphism group and the information about selfduality follows. The predefined automorphism is of order 25. There are 6 conjugacy classes of automorphism groups of order 25. Only two of them can be used to construct a parallelism. In what follows first the 22 parallelisms with automorphism group of order 25 with a fixed point are presented. The group is generated by: c1:=(2,3,4,5,6)(7,12,18,25,28)(8,13,19,26,29)(9,14,20,22,30)(10,15,21,23,31)(11,16,17,24,27)(32,57,87,123,141) (33,58,88,124,137)(34,59,89,125,138)(35,60,90,126,139)(36,61,91,122,140)(37,63,94,131,145)(38,64,95,127,146) (39,65,96,128,142)(40,66,92,129,143)(41,62,93,130,144)(42,69,101,109,149)(43,70,97,110,150)(44,71,98,111,151) (45,67,99,107,147)(46,68,100,108,148)(47,75,103,112,153)(48,76,104,113,154)(49,72,105,114,155)(50,73,106,115,156) (51,74,102,116,152)(52,81,85,120,132)(53,77,86,121,133)(54,78,82,117,134)(55,79,83,118,135)(56,80,84,119,136); and c2:=(2,3,4,5,6)(7,13,20,23,27)(8,14,21,24,28)(9,15,17,25,29)(10,16,18,26,30)(11,12,19,22,31)(32,62,99,114,133) (33,63,100,115,134)(34,64,101,116,135)(35,65,97,112,136)(36,66,98,113,132)(37,68,106,117,137)(38,69,102,118,138) (39,70,103,119,139)(40,71,104,120,140)(41,67,105,121,141)(42,74,83,125,146)(43,75,84,126,142)(44,76,85,122,143) (45,72,86,123,144)(46,73,82,124,145)(47,80,90,128,150)(48,81,91,129,151)(49,77,87,130,147)(50,78,88,131,148) (51,79,89,127,149)(52,61,92,111,154)(53,57,93,107,155)(54,58,94,108,156)(55,59,95,109,152)(56,60,96,110,153); The corresponding 24 nontrivial permutations of the lines are: 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 7 13 14 15 16 12 18 19 20 21 17 23 24 25 26 22 28 29 30 31 27 33 34 35 36 32 41 37 38 39 40 42 43 44 45 46 48 49 50 51 47 54 55 56 52 53 60 61 57 58 59 63 64 65 66 62 70 71 67 68 69 76 72 73 74 75 77 78 79 80 81 83 84 85 86 82 89 90 91 87 88 93 94 95 96 92 99 100 101 97 98 105 106 102 103 104 111 107 108 109 110 112 113 114 115 116 118 119 120 121 117 123 124 125 126 122 128 129 130 131 127 134 135 136 132 133 140 141 137 138 139 146 142 143 144 145 147 148 149 150 151 153 154 155 156 152 157 158 159 160 161 163 164 165 166 162 169 170 171 167 168 175 176 172 173 174 181 177 178 179 180 216 212 213 214 215 221 217 218 219 220 226 222 223 224 225 231 227 228 229 230 211 207 208 209 210 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676 672 677 678 679 680 681 661 657 658 659 660 665 666 662 663 664 A parallelism is preceded by the type of its spreads. It is presented as 20 position vector according to the list below. The values within the vector correspond to the first number in the list. Next two values show the spread intersection with the reguli of the projective space. N6 and N4 are the number of reguli in PG(3,5) which have 6 and, respectively, 4 common lines with a spread. Since a regulus in PG(3,5) has q + 1 = 6 lines, N6 is actually the number of whole reguli in the spread. The pairs (N6,N4) partition the 21 nonisomorphic spreads of PG(3,5) to 20 classes, the star (*) denotes the invariant class with two nonisomorphic spreads. # N6 N4 1 130 0 2 31 105 3 16 246 4 10 192 5 7 120 6 7 150 7 5 200 8 4 78 9 4 102 10 3 237 11 1 82 12 1 138 13 1 210 14 0 72 *15 0 104 16 0 114 17 0 180 18 0 190 19 0 225 20 0 310 Each parallelism is followed by the number of generators of its full authomorphism group and by the generators themselves. n500R1 1 Aut25 sd0 Type:0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 5 25 0 0 0 0 0 0 1 192 226 255 259 288 314 343 372 406 410 450 479 483 512 546 573 602 611 640 669 691 720 749 778 782 2 42 80 113 151 159 310 339 368 397 431 441 470 499 528 532 558 587 621 650 679 694 723 752 761 790 3 44 81 116 149 160 201 230 234 263 292 445 474 503 507 541 562 596 625 654 658 698 727 736 765 794 4 45 78 112 147 158 206 210 239 268 297 319 348 377 386 415 567 601 630 634 663 703 707 741 770 799 5 43 79 114 148 161 182 216 245 274 303 325 354 358 387 421 456 460 489 518 547 684 713 742 776 805 6 46 77 115 150 157 189 218 247 281 285 327 336 365 394 423 433 462 496 525 554 580 584 613 642 676 7 51 88 106 143 155 200 217 238 302 328 340 396 426 447 505 519 539 606 616 648 670 699 718 754 762 8 47 90 104 142 156 186 229 251 267 330 332 369 425 443 481 509 548 574 610 645 677 728 747 758 796 9 48 87 102 146 152 215 233 280 301 329 334 366 398 452 472 485 538 561 603 639 674 700 732 781 787 10 49 89 105 145 153 205 244 262 284 333 363 395 427 442 461 506 514 578 590 607 668 696 729 766 785 11 50 91 103 144 154 188 209 273 296 311 362 392 424 476 490 510 543 572 582 619 641 689 725 733 795 12 35 84 100 138 181 195 227 241 298 318 338 357 422 439 471 504 534 581 599 608 665 692 730 750 786 13 36 85 97 141 180 202 224 236 270 331 347 367 391 438 468 500 508 569 585 628 637 690 726 734 779 14 32 86 99 139 179 211 253 265 299 335 381 401 420 467 497 529 537 598 614 632 671 719 755 763 783 15 33 82 101 137 178 203 240 257 294 324 364 385 430 446 501 531 533 575 627 643 666 687 748 759 792 16 34 83 98 140 177 198 207 269 291 309 353 393 414 437 475 530 535 570 604 636 672 701 721 777 788 17 37 63 117 133 172 193 254 266 300 321 356 388 408 455 473 495 536 564 594 626 635 715 753 774 784 18 41 64 118 135 175 204 222 258 295 312 350 360 417 440 459 502 524 593 623 655 664 688 744 757 803 19 40 65 119 132 173 199 208 256 287 326 346 379 389 469 488 511 553 568 622 652 659 682 717 773 791 20 39 66 120 134 176 196 228 237 260 355 375 383 418 432 498 517 540 563 597 656 661 695 716 751 802 21 38 62 121 136 174 225 232 271 289 322 359 404 412 444 466 527 551 565 592 631 660 686 724 745 780 22 61 74 94 128 170 187 223 278 293 313 351 361 402 435 492 515 549 579 600 620 657 709 739 771 806 23 59 73 95 129 167 197 221 252 282 342 380 390 411 453 464 526 544 566 583 629 649 685 738 768 800 24 57 72 96 130 169 191 231 250 261 315 376 384 419 448 457 493 555 595 612 633 678 704 714 767 797 25 60 76 92 131 171 220 235 279 290 323 344 405 413 434 477 491 522 557 624 646 662 706 708 743 801 26 58 75 93 127 168 194 249 264 283 317 352 373 409 463 486 520 556 571 591 653 675 705 710 737 772 27 54 68 110 123 165 190 242 272 304 307 349 371 403 436 480 516 550 588 609 644 681 693 712 735 798 28 56 71 109 124 166 183 219 276 306 341 378 400 407 454 465 484 545 560 617 638 673 702 722 746 764 29 53 69 108 125 162 185 212 248 305 316 370 382 429 449 458 494 513 577 589 651 667 711 756 775 793 30 55 67 107 126 163 184 214 246 277 308 345 399 416 478 487 523 542 576 586 618 680 697 740 760 804 31 52 70 111 122 164 213 243 275 286 320 337 374 428 451 482 521 552 559 605 615 647 683 731 769 789 gens 2 1 3 4 5 6 2 12 13 14 15 16 18 19 20 21 17 24 25 26 22 23 30 31 27 28 29 11 7 8 9 10 57 58 59 60 61 63 64 65 66 62 69 70 71 67 68 75 76 72 73 74 81 77 78 79 80 87 88 89 90 91 93 94 95 96 92 99 100 101 97 98 105 106 102 103 104 86 82 83 84 85 117 118 119 120 121 123 124 125 126 122 129 130 131 127 128 110 111 107 108 109 116 112 113 114 115 147 148 149 150 151 153 154 155 156 152 134 135 136 132 133 140 141 137 138 139 146 142 143 144 145 52 53 54 55 56 33 34 35 36 32 39 40 41 37 38 45 46 42 43 44 51 47 48 49 50 (1)(2,3,4,5,6)(7,12,18,25,28)(8,13,19,26,29)(9,14,20,22,30)(10,15,21,23,31)(11,16,17,24,27)(32,57,87,123,141)(33,58,88,124,137)(34,59,89,125,138)(35,60,90,126,139)(36,61,91,122,140)(37,63,94,131,145)(38,64,95,127,146)(39,65,96,128,142)(40,66,92,129,143)(41,62,93,130,144)(42,69,101,109,149)(43,70,97,110,150)(44,71,98,111,151)(45,67,99,107,147)(46,68,100,108,148)(47,75,103,112,153)(48,76,104,113,154)(49,72,105,114,155)(50,73,106,115,156)(51,74,102,116,152)(52,81,85,120,132)(53,77,86,121,133)(54,78,82,117,134)(55,79,83,118,135)(56,80,84,119,136) 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 7 13 14 15 16 12 18 19 20 21 17 23 24 25 26 22 28 29 30 31 27 41 37 38 39 40 46 42 43 44 45 51 47 48 49 50 56 52 53 54 55 36 32 33 34 35 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 57 58 59 60 61 88 89 90 91 87 93 94 95 96 92 98 99 100 101 97 103 104 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