Results

Expected results

The expected results are described by work packages as follows.

WP 1. Polarization and energy of codes and designs

• Derivation of new universal (simultaneously in the sense of Levenshtein and the sense of Cohn-Kumar) bounds for min-max and max-min polarization problems
• Development of general framework for investigation of the possibilities for attaining the universal bounds
• Development of general framework for derivation of universal polarization bounds in finite and infinite polynomial metric spaces
• Derivation of bounds for special types of energy and investigations of their relations with the polarization bounds

WP 2. Optimal and close to optimal codes and designs

• Investigation of codes which are optimal (or close to optimal) with respect to the new bounds
• Investigation of codes with few distances
• Investigation of special types of spherical T-designs and weighted codes and designs

WP 3. Geometric methods in coding theory and cryptography

• Proof of general results on the structure of Griesmer codes
• Chracterization of the structure of (t mod q)-arcs in projetcive geometries
• Proof of q- and R-analogues of classical results from the extremal set theory
• Construction of good codes with respect to the rank metric
• Proof of new bounds for arcs and blocking sets in finite projective and affine geometries

WP 4. Ternary Johnson schemes

• Further generalization of results in Johnson scheme to the ternary case
• Comparison of combinatorial and algebraic results in ternary Johnson schemes
• Supersaturation version of the uniform eventown theorem

Results from the first stage

WP 1. Polarization and energy of codes and designs

Дейност 1.1: Получени са универсални долни и горни граници за енергията на претеглени сферични кодове, като този клас кодове досега не е разглеждан от гледна точка на линейното програмиране и границите са нови [WP1-1]. За долните граници е получено необходимо и достатъчно условие за оптималност [WP1-1]. Получени са и са изследвани универсални долни и горни граници за max-min и min-max задачите за поляризация на сферични \((k,k)\)-дизайни, което дава съответния резултат в реалното проективно пространство, разглеждано като полиномиално метрично [WP1-2]. Аналогичен резултат е получен в работата [WP1-3] за енергии (дискретни мерки). Универсалността е в смисъл на Левенщейн (съществуват граници за всички дизайни), в смисъл на Кон-Кумар (универсалността е за широк клас от потенциали) и в смисъла, въведен от авторите през 2016 г. (възлите и теглата не завият от потенциала) [WP1-2].
Дейност 1.2: Намерени са необходими условия за достигане на новите универсални граници за претеглени сферични кодове и дизайни и са посочени примери [WP1-1]. В случая на потенциал \(h(t)=t^{2k}\), е доказано свойство на оптималност (и за двете задачи за поляризация) на сферичните \((k,k)\)-дизайни, което преди това беше известно само за \(k=1\) [WP1-2]. В работата [WP1-3] e изследвана връзката между границите за енергии и поляризация на дискретни мерки върху евклидова сфера. В [WP1-2, WP1-3] е показано, че а аспектите на универсалност при енергии за запазват и при поляризацията, като класът от потенциални функции, за които са в сила границите, се разширява.
Дейност 1.3: Получените в [WP1-2, WP1-3] универсални долни и горни граници за max-min и min-max задачите за поляризация на сферични \((k,k)\)-дизайни дават съответния резултат в реалното проективно пространство, разглеждано като полиномиално метрично. Резултати по дейностите от този работен пакет са анонсирани и представяни в сборника от доклади на WCC 2024 [WP1-4] и в 6 доклада на международно ниво [D1-1]-[D1-6].

Публикации и доклади по РП 1

[WP1-1] S. Borodachov, P. Boyvalenkov, P. Dragnev, D. Hardin, E. Saff, M. Stoyanova, Energy bounds for weighted spherical codes and designs via linear programming, Analysis and Mathematical Physics, vol. 15(1), art. 19, 2025.
[WP1-2] S. Borodachov, P. Boyvalenkov, S. Borodachov, P. Dragnev, D. Hardin, E. Saff, M. Stoyanova, Bounds on discrete potentials of spherical \((k,k)\)-designs, on-line, Designs, Codes and Cryptography, 2025,
[WP1-3] S. Borodachov, P. Boyvalenkov, S. Borodachov, P. Dragnev, D. Hardin, E. Saff, M. Stoyanova, Bounds on energy and potentials of discrete measures on the sphere, in minor revision for Expositiones Mathematicae, 2025. IF 0.9 (2024, Q2), SJR 0.550 (2024, Q2)
[WP1-4] P. Boyvalenkov, S. Borodachov, P. Dragnev, D. Hardin, E. Saff, M. Stoyanova, Linear programming lower bounds for energy of weighted spherical codes, Proceedings of Workshop on Coding and Cryptograprhy, Perugia 2024, 2024, 77-86.
[D1-1] P. Boyvalenkov, S. Borodachov, P. Dragnev, D. Hardin, E. Saff, M. Stoyanova, Universal Bounds for Energy of Weighted Spherical Codes and Designs (доклад по покана), 14th International Mathematical Week 2024, Thessaloniki, Greece, April 14-21, 2024.
[D1-2] P. Boyvalenkov, S. Borodachov, P. Dragnev, D. Hardin, E. Saff, M. Stoyanova, Linear programming lower bounds for energy of weighted spherical codes, Workshop on Coding and Cryptograprhy (WCC2024), Perugia, Italy, June 17-21, 2024.
[D1-3] P. Boyvalenkov, S. Borodachov, P. Dragnev, D. Hardin, E. Saff, M. Stoyanova, Universal Bounds for Energy of Weighted Spherical Codes and Designs (доклад по покана), 2nd Analysis Mathematica Conference, Budapest, Hungary, 28.07- 03.08, 2024.
[D1-4] P. Boyvalenkov, S. Borodachov, P. Dragnev, D. Hardin, E. Saff, M. Stoyanova, Energy Bounds for Weighted Spherical Codes and Designs via Linear Programming, Unexpected Phenomena in Energy Minimization and Polarization, Sofia, Bulgaria, December 09-13, 2024.
[D1-5] S. Borodachov, P. Boyvalenkov, P. Dragnev, D. Hardin, E. Saff, M. Stoyanova, Optimal polarization (PULB) pairs of codes found in the \(E_8\) and Leech lattices, Unexpected Phenomena in Energy Minimization and Polarization, Sofia, Bulgaria, December 09-13, 2024.
[D1-6] P. Boyvalenkov, S. Borodachov, P. Dragnev, D. Hardin, E. Saff, M. Stoyanova, Universal bounds for energy of weighted spherical codes and designs, Weekly Spring 2024-2025 Term Graduate Seminars of the Faculty of Engineering and Natural Sciences, Sabanci University, Istanbul, Turkey, 05.02.2025.
Забележка. Резултати по този работен пакет са представяни и в доклади на съавторите на работите [WP1-1-5], които не са членове на колектива по проекта.

WP 2. Optimal and close to optimal codes and designs

Дейност 2.1: Разработени са техники за намиране и изследване на всички абсолютни минимуми на известни оптимални сферични кодове и дизайни [WP2-5]. Тези техники са приложени за кодове и дизайни, намиращи се в решетките на Коркин-Золотарьов и на Лийч [WP2-5].
Дейност 2.2: Намерено е контактното число (kissing number) при малки ограничения в размерност 48 за кодове, които нямат скаларни произведения в множеството \((-1/3,1/6)\cup(1/6,1/3)\) [WP2-1]. Известни са 4 неизоморфни (1/2)-кода в тази размерност с максимална мощност и за тях е доказана и универсална оптималност в смисъла на Кон-Кумар [WP2-4]. Тези резултати са продължени в размерности 16 и 21-23 (с различни забранени интервали), където е доказана оптималност по отношение на максимална мощност на код, минимална мощност на дизайн и минимална енергия на код (универсална оптималност) в редица случаи на т.нар. T-избягващи кодове [WP2-6]. Доказани са класификациони резултати и нови граници за специални случаи на двоични кодове с две разстояния \(d\) и \(d+2\) [WP2-2]. Получена е и е изследвана горна граница за мощността на двоични кодове с фиксиран брой разстояния, която е асимптотично оптимална [WP2-3]. Чрез прецизиране на аргументацията са получени подобрения за някои специални множества от разстояния [WP2-3].
Дейност 2.3: Намерени са и са подробно описани двойки кодове с универсално-оптимална поляризация в решетките на Коркин-Золотарьов и на Лийч [WP2-5]. Доказан е аналог на теорема на Делсарт-Гьоталс-Зайдел за силата на производни кодове [WP2-5]. Получени са нови универсални граници и резултати за оптималност за т.нар. регулярни кодове [WP2-7]. Аналогични резултат са получени и за квази-остри антиподални кодове, които са регулярни [WP2-7].

Публикации и доклади по РП 2

[WP2-1] P. Boyvalenkov, D. Cherkashin, The kissing number in 48 dimensions for codes with certain forbidden distances is 52 416 000, Results in Mathematics, vol. 80(1), art. 3, 2025
[WP2-2] I. Landjev, K. Vorobev, On Binary Codes with Distances \(d\) and \(d+2\), Designs, Codes and Cryptography, accepted.
[WP2-3] I. Landjev, K. Vorobev, An Upper Bound on the Size of a Binary Code with \(s\) Distances, Comptes Rendus de l`Academie Bulgare des Sciences, vol. 78(5), 656-662, 2025.
[WP2-4] P. Boyvalenkov, P. Dragnev, Energy of codes with forbidden distances in 48 dimensions, Applied and Numerical Harmonic Analysis, Volume dedicated to Edward Saff’s 80-th birthday, Springer, 2025 (A. Martinez-Finkelshtein, A. Stokolos, D. Bilyk, E. Jacob - Eds), 101-129, 2025, Springer, to appear.
[WP2-5] P. Boyvalenkov, S. Borodachov, P. Dragnev, D. Hardin, E. Saff, M. Stoyanova, Optimal polarization pairs of spherical codes embedded in E_8 and Leech lattices, submitted, 2025.
[WP2-6] P. Boyvalenkov, D. Cherkashin, P. Dragnev, Universal optimality of T-avoiding spherical codes and designs, submitted, 2025. https://arxiv.org/abs/2501.13906
[WP2-7] S. Borodachov, P. Boyvalenkov, S. Borodachov, P. Dragnev, D. Hardin, E. Saff, M. Stoyanova, Universal minima and min-max polarization for sharp codes that are non-tight designs, submitted.
[D2-1] P. Boyvalenkov, D. Cherkashin, A kissing number with forbidden distances, Week of Mathematics and Informatics, Sozopol, Bulgaria, September 22-27, 2024.
[D2-2] P. Boyvalenkov, S. Borodachov, P. Dragnev, D. Hardin, E. Saff, M. Stoyanova, Optimal polarization pairs of codes in the Leech lattice (доклад по покана), IMAR 75 A conference celebrating the 75-th anniversary of the Simion Stoilow Institute of Mathematics of the Romanian Academy, Bucharest, Romania, September 26-29, 2024.
[D2-3] P. Boyvalenkov, Kissing in Mathematics – from Newton to the age of Big Data, Pi Math Club @ Purdue University Fort Wayne seminar, Fort Wayne, Indiana, USA, October 30, 2024.
[D2-4] P. Boyvalenkov, D. Cherkashin, On kissing numbers with forbidden distances, Colloquium at Department of Mathematical Sciences, Purdue University Fort Wayne, Fort Wayne, Indiana, USA, October 31, 2024.
[D2-5] P. Boyvalenkov, D. Cherkashin, P. Dragnev, On universal optimality of distance avoiding spherical codes, Constructive Approximation 2025 in conjunction with the 37th Shanks Lecture, Celebrating Ed Saff’s 80th birthday, Vanderbilt University, Nashville, Tennessee, USA, May 19-22, 2025.
[D2-6] I. Landjev, Constructions of codes with two distances, Combinatorial Constructions Conference, Dubrobnik, Croatia, April 07-13, 2024.
[D2-7] I. Landjev, Constructions of codes with two distances, COMBINATORICS 2024, Carrovigno, Italy, June 03-07, 2024.
[D2-8] P. Boyvalenkov, On kissing numbers and energy of codes with forbidden distances, National Coding Theory Workshop with international participation "Professor Stefan Dodunekov", November 21-24, 2024.
[D2-9] P. Dragnev, P. Boyvalenkov, On universal optimality of distance-avoiding spherical codes, National Coding Theory Workshop with international participation "Professor Stefan Dodunekov", November 21-24, 2024.
[D2-10] V. Rohling, K. Delchev, N. Rohling, Efficient exchange-only quantum computation via reinforcement learning, National Coding Theory Workshop with international participation "Professor Stefan Dodunekov", November 21-24, 2024.

WP 3. Geometric methods in coding theory and cryptography

Дейност 3.1: Доказан е нов резултат за редуцируемост на минихипери в проективни геометрии над крайни полета. [WP3-5] Този резултат е използван за класификация на минихипери с параметри (70,22) в PG(4,3), която от своя страна е използвана за решаване на няколко открити случая на основната задача на теория на кодирането за кодове с размерност 6 над поле с три елемента [WP3-2]. Тук е направена и характеризация на (66,21)-минихипери в \(PG(4,3)\), която представлява самостоятелен интерес. Доказано е, че всички силни (3 mod 5)-арки в \(PG(r,5)\), \(r>3\), са или лифтвани или квадратични арки, т.е. получени от квадрики чрез специална конструкция, описана в друга наша работа [WP3-1]. Във [WP3-3] са представени нови конструкции и горни граници за мощността на арки в проективни геометрии на Йелмслев над верижни пръстени с 4, 9, 16 и 25 елемента и индекс на нилпотентност 2. Тези резултати подобряват значително старите таблици за такива арки, публикувани от Хонолд и Ланджев през 2002
Дейност 3.2: Изследван е аналог на класическата теорема на Ердьош-Ко-Радо за семейства от подмодули с пресичане от един и същи тип над свободен верижен пръстен от ранг \(n\) с индекс на нилпотентност 2 [WP3-4].
Дейност 3.3: Резултатът от [WP3-4] представлява конструкция на кодове в рангова метрика с постоянна размерност на сечнието, т.е. с постоянно рангово разстояние. Тези кодове са аналог на константно тегловните кодове в стандартната хемингова метрика.

Публикации и доклади по РП 3

[WP3-1] I. Landjev, S. Kurz, A. Rousseva, Quadratic Sets and (3 mod 5)-arcs in PG(r,5), In: Zlateva, T., Tuparov, G. (eds) Computer Science and Education in Computer Science. CSECS 2024. Lecture Notes of the Institute for Computer Sciences, Social Informatics and Telecommunications Engineering, vol 609, 2025, 88-06, 2025. SJR 0.158 (2024, Q4). DOI: 10.1007/978-3-031-84312-9_6, https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-031-84312-9_6
[WP3-2] I. Landjev, E. Rogachev, A. Rousseva, Characterization of Some Non-canonical Minihypers in \(PG(r,3)\) and the Non-existence of Some Ternary Griesmer Codes, Designs, Codes and Cryptography (WCC2024) accepted.
[WP3-3] Th. Honold, M. Kiermaier, I. Landjev, New results on Arcs in Projective Hjelmslev Planes, J. of Geometry, submitted. https://arxiv.org/abs/2409.02099
[WP3-4] I. Landjev, E. Rogachev, A. Rousseva, Theorems of Erdos-Ko-Rado Type in Projective Geometries over Finite Chain Rings, (submitted to Annual of Sofia University).
[WP3-5] I. Landjev, A. Rousseva, K. Vorobev, A New Reducibility Result for Minihypers in Finite Projective Geometries, Annual of Sofia University, Faculty of Mathematics and Informatics, 112(2025), accepted, https://arxiv.org/abs/2502.13271.
[WP3-6] A. Rousseva, On Affine Blocking Sets, Mathematics and Education in Mathematics, Proc. of the 53rd Spring Conference of the UBM, 2024, 9-17.
[WP3-7] A. Rousseva, I. Landjev, E. Rogachev, Characterization of Some Non-Canonical Minihypers in \(PG(r,3)\) and the Main Problem of Coding Theory, Proceedings of Workshop on Coding and Cryptograprhy, Perugia 2024, 342-350. https://wcc2024.sites.dmi.unipg.it/WCC_proceedings.pdf
[D3-1] A. Rousseva, On Affine blocking sets, 53rd Spring conference of the UBM, April 2024, invited talk.
[D3-2] E. Rogachev, On quasidivisible Griesmer arcs, COMBINATORICS 2024, Carrovigno, Italy, June 03-07, 2024.
[D3-3] A. Rousseva, On arcs with high divisibility, COMBINATORICS 2024, Carrovigno, Italy, June 03-07, 2024.
[D3-4] A. Rousseva, Characterization of some non-cannonical Griesmer minihypers in \(PG(r,3)\) and the main problem in coding theory, WCC 2024, Perugia, Italy, June 17-21, 2024.
[D3-5] I. Landjev, Quadratic sets and \((3 mod 5)\)-arcs in \(PG(r,5)\), 19th EAI Conference on CSECS, Sofia, June 28-30, 2024.
[D3-6] I. Landjev, Theorems of Erdos-Ko-Rado type in ring geometries, Week of Mathematics and Informatics, Sozopol, September 23-27, 2024.
[D3-7] A. Rousseva, An extension theorem for linear codes, Spring session of the Faculty of Mathematics and Informatics, Sofia, March 22, 2025.
[D3-8] A. Rousseva, A reducibility theorem for minihypers, 5th Pythagoream Conference on Combinatorics, Kalamata, Greece, June 01-06, 2025.
[D3-9] I. Landjev, Quadratic sets and \((t mod q)\)-arcs in \(PG(r,q)\), 5th Pythagoren Conference on Combinatorics, Kalamata, Greece, June 01-06, 2025.
[D3-10] A. Rousseva, I. Landjev, K. Vorobev, A new reducibility result for griesmer minihypers, National Coding Theory Workshop with international participation "Professor Stefan Dodunekov", November 21-24, 2024.
[D3-11] I. Landjev, A. Mironov, Some notes on blocking sets in projective planes, National Coding Theory Workshop with international participation "Professor Stefan Dodunekov", November 21-24, 2024.

WP 4. Ternary Johnson schemes

Дейност 4.1: С помощта на идея на Filmus (2016) разглеждаме собствен вектор на троичната схема на Джонсън \((n, k)\) като функция на \(n\) начални координати и намираме базис на съответното пространство от хармонични функции (ядро на класически оператор на Лаплас). Собственият вектор се състои от стойности на хармоничните функции в съответните точки от \(n\)-мерно пространство. Тогава базисът се дава от подходящи линейни комбинации на ``елементарнитe'' хармонични функции и се състои от произведения на функции от вида \(x_i^2-x_j^2\) и \(x_k-x_l\), където всички променливи са различни. Подготвя се публикация по тези резултати.
Дейност 4.2: Границата на Хофман в подходящо приложение показва, че графът на Джонсън с параметри \((k^2-k+1,k,1)\) дава, че неговото число на независимост е най-много биномния коефициент \((k^2-k-1\) над \(k-2\)) [WP4-1]. Предложена е конфигурация, която достига тази граница [WP4-1].
Дейност 4.3: Получено е уточнение на скорошни резултати на Дубинин, Неустроева, Райгородский и Шубин. По-точно, използвана е Джонсънова асоциативна схема за да се докаже долна граница \((9с^2/2 - c)n^3\) за броя на ребрата в произволен подграф с \(cn^2\) върха на Джонсънов граф с параметри \((n,3,1)\). Напълно е решен случаят \(k = 4\) в задачата за четните градове чрез класификация на всички максимални (по отношение на включване) независими множества в съответния граф. Подготвят се две публикации по тези резултати.

Публикации и доклади по РП 4

[WP4-1] D. Cherkashin, On set systems without singleton intersections, Discrete Mathematics Letters, vol. 14, 85-88, 2024.
[D4-1] D. Cherkashin, On set systems without singleton intersections, 10th Polish Combinatorial Conference, Będlewo, Poland, September 15-21, 2024.