The eight regular parallelisms constructed with a predefined automorphism of order 3 PG(3,5) The 806 lines follow given by their points (the lines are blocks of a 2-(156,6,1) design) l3 - 1 2 3 4 5 6 l2 - 1 7 8 9 10 11 l3 - 1 12 13 14 15 16 l4 - 1 17 18 19 20 21 l5 - 1 22 23 24 25 26 l6 - 1 27 28 29 30 31 l7 - 1 32 33 34 35 36 l8 - 1 37 38 39 40 41 l9 - 1 42 43 44 45 46 l10 - 1 47 48 49 50 51 l11 - 1 52 53 54 55 56 l12 - 1 57 58 59 60 61 l13 - 1 62 63 64 65 66 l14 - 1 67 68 69 70 71 l15 - 1 72 73 74 75 76 l16 - 1 77 78 79 80 81 l17 - 1 82 83 84 85 86 l18 - 1 87 88 89 90 91 l19 - 1 92 93 94 95 96 l20 - 1 97 98 99 100 101 l21 - 1 102 103 104 105 106 l22 - 1 107 108 109 110 111 l23 - 1 112 113 114 115 116 l24 - 1 117 118 119 120 121 l25 - 1 122 123 124 125 126 l26 - 1 127 128 129 130 131 l27 - 1 132 133 134 135 136 l28 - 1 137 138 139 140 141 l29 - 1 142 143 144 145 146 l30 - 1 147 148 149 150 151 l31 - 1 152 153 154 155 156 l32 - 2 7 12 17 22 27 l33 - 2 8 13 18 23 28 l34 - 2 9 14 19 24 29 l35 - 2 10 15 20 25 30 l36 - 2 11 16 21 26 31 l37 - 2 32 37 42 47 52 l38 - 2 33 38 43 48 53 l39 - 2 34 39 44 49 54 l40 - 2 35 40 45 50 55 l41 - 2 36 41 46 51 56 l42 - 2 57 62 67 72 77 l43 - 2 58 63 68 73 78 l44 - 2 59 64 69 74 79 l45 - 2 60 65 70 75 80 l46 - 2 61 66 71 76 81 l47 - 2 82 87 92 97 102 l48 - 2 83 88 93 98 103 l49 - 2 84 89 94 99 104 l50 - 2 85 90 95 100 105 l51 - 2 86 91 96 101 106 l52 - 2 107 112 117 122 127 l53 - 2 108 113 118 123 128 l54 - 2 109 114 119 124 129 l55 - 2 110 115 120 125 130 l56 - 2 111 116 121 126 131 l57 - 2 132 137 142 147 152 l58 - 2 133 138 143 148 153 l59 - 2 134 139 144 149 154 l60 - 2 135 140 145 150 155 l61 - 2 136 141 146 151 156 l62 - 3 7 13 19 25 31 l63 - 3 8 14 20 26 27 l64 - 3 9 15 21 22 28 l65 - 3 10 16 17 23 29 l66 - 3 11 12 18 24 30 l67 - 3 32 38 44 50 56 l68 - 3 33 39 45 51 52 l69 - 3 34 40 46 47 53 l70 - 3 35 41 42 48 54 l71 - 3 36 37 43 49 55 l72 - 3 57 63 69 75 81 l73 - 3 58 64 70 76 77 l74 - 3 59 65 71 72 78 l75 - 3 60 66 67 73 79 l76 - 3 61 62 68 74 80 l77 - 3 82 88 94 100 106 l78 - 3 83 89 95 101 102 l79 - 3 84 90 96 97 103 l80 - 3 85 91 92 98 104 l81 - 3 86 87 93 99 105 l82 - 3 107 113 119 125 131 l83 - 3 108 114 120 126 127 l84 - 3 109 115 121 122 128 l85 - 3 110 116 117 123 129 l86 - 3 111 112 118 124 130 l87 - 3 132 138 144 150 156 l88 - 3 133 139 145 151 152 l89 - 3 134 140 146 147 153 l90 - 3 135 141 142 148 154 l91 - 3 136 137 143 149 155 l92 - 4 7 14 21 23 30 l93 - 4 8 15 17 24 31 l94 - 4 9 16 18 25 27 l95 - 4 10 12 19 26 28 l96 - 4 11 13 20 22 29 l97 - 4 32 39 46 48 55 l98 - 4 33 40 42 49 56 l99 - 4 34 41 43 50 52 l100 - 4 35 37 44 51 53 l101 - 4 36 38 45 47 54 l102 - 4 57 64 71 73 80 l103 - 4 58 65 67 74 81 l104 - 4 59 66 68 75 77 l105 - 4 60 62 69 76 78 l106 - 4 61 63 70 72 79 l107 - 4 82 89 96 98 105 l108 - 4 83 90 92 99 106 l109 - 4 84 91 93 100 102 l110 - 14 85 87 94 101 103 l111 - 14 86 88 95 97 104 l112 - 14 107 114 121 123 130 l113 - 14 108 115 117 124 131 l114 - 14 109 116 118 125 127 l115 - 14 110 112 119 126 128 l116 - 14 111 113 120 122 129 l117 - 14 132 139 146 148 155 l118 - 14 133 140 142 149 156 l119 - 14 134 141 143 150 152 l120 - 14 135 137 144 151 153 l121 - 14 136 138 145 147 154 l122 - 15 7 15 18 26 29 l123 - 15 8 16 19 22 30 l124 - 15 9 12 20 23 31 l125 - 15 10 13 21 24 27 l126 - 15 11 14 17 25 28 l127 - 15 32 40 43 51 54 l128 - 15 33 41 44 47 55 l129 - 15 34 37 45 48 56 l130 - 15 35 38 46 49 52 l131 - 15 36 39 42 50 53 l132 - 25 57 65 68 76 79 l133 - 25 58 66 69 72 80 l134 - 25 59 62 70 73 81 l135 - 25 60 63 71 74 77 l136 - 25 61 64 67 75 78 l137 - 25 82 90 93 101 104 l138 - 25 83 91 94 97 105 l139 - 25 84 87 95 98 106 l140 - 25 85 88 96 99 102 l141 - 25 86 89 92 100 103 l142 - 25 107 115 118 126 129 l143 - 25 108 116 119 122 130 l144 - 25 109 112 120 123 131 l145 - 25 110 113 121 124 127 l146 - 25 111 114 117 125 128 l147 - 25 132 140 143 151 154 l148 - 25 133 141 144 147 155 l149 - 25 134 137 145 148 156 l150 - 25 135 138 146 149 152 l151 - 25 136 139 142 150 153 l152 - 26 7 16 20 24 28 l153 - 26 8 12 21 25 29 l154 - 26 9 13 17 26 30 l155 - 26 10 14 18 22 31 l156 - 26 11 15 19 23 27 l157 - 26 32 41 45 49 53 l158 - 26 33 37 46 50 54 l159 - 26 34 38 42 51 55 l160 - 26 35 39 43 47 56 l161 - 26 36 40 44 48 52 l162 - 36 57 66 70 74 78 l163 - 36 58 62 71 75 79 l164 - 36 59 63 67 76 80 l165 - 36 60 64 68 72 81 l166 - 36 61 65 69 73 77 l167 - 36 82 91 95 99 103 l168 - 36 83 87 96 100 104 l169 - 36 84 88 92 101 105 l170 - 36 85 89 93 97 106 l171 - 36 86 90 94 98 102 l172 - 36 107 116 120 124 128 l173 - 36 108 112 121 125 129 l174 - 36 109 113 117 126 130 l175 - 36 110 114 118 122 131 l176 - 36 111 115 119 123 127 l177 - 36 132 141 145 149 153 l178 - 36 133 137 146 150 154 l179 - 36 134 138 142 151 155 l180 - 36 135 139 143 147 156 l181 - 36 136 140 144 148 152 l182 - 37 32 57 82 107 132 l183 - 37 33 58 83 108 133 l184 - 37 34 59 84 109 134 l185 - 37 35 60 85 110 135 l186 - 37 36 61 86 111 136 l187 - 37 37 62 87 112 137 l188 - 37 38 63 88 113 138 l189 - 37 39 64 89 114 139 l190 - 37 40 65 90 115 140 l191 - 37 41 66 91 116 141 l192 - 47 42 67 92 117 142 l193 - 47 43 68 93 118 143 l194 - 47 44 69 94 119 144 l195 - 47 45 70 95 120 145 l196 - 47 46 71 96 121 146 l197 - 47 47 72 97 122 147 l198 - 47 48 73 98 123 148 l199 - 47 49 74 99 124 149 l200 - 7 50 75 100 125 150 l201 - 7 51 76 101 126 151 l202 - 7 52 77 102 127 152 l203 - 7 53 78 103 128 153 l204 - 7 54 79 104 129 154 l205 - 7 55 80 105 130 155 l206 - 7 56 81 106 131 156 l207 - 8 32 58 84 110 136 l208 - 8 33 59 85 111 132 l209 - 8 34 60 86 107 133 l210 - 18 35 61 82 108 134 l211 - 18 36 57 83 109 135 l212 - 18 37 63 89 115 141 l213 - 18 38 64 90 116 137 l214 - 18 39 65 91 112 138 l215 - 18 40 66 87 113 139 l216 - 18 41 62 88 114 140 l217 - 18 42 68 94 120 146 l218 - 18 43 69 95 121 142 l219 - 18 44 70 96 117 143 l220 - 18 45 71 92 118 144 l221 - 18 46 67 93 119 145 l222 - 18 47 73 99 125 151 l223 - 18 48 74 100 126 147 l224 - 18 49 75 101 122 148 l225 - 18 50 76 97 123 149 l226 - 18 51 72 98 124 150 l227 - 18 52 78 104 130 156 l228 - 18 53 79 105 131 152 l229 - 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229 34 81 98 120 137 l735 - 229 35 77 99 121 138 l736 - 229 36 78 100 117 139 l737 - 229 37 59 106 123 145 l738 - 229 38 60 102 124 146 l739 - 229 39 61 103 125 142 l740 - 229 40 57 104 126 143 l741 - 229 41 58 105 122 144 l742 - 229 42 64 86 128 150 l743 - 229 43 65 82 129 151 l744 - 229 44 66 83 130 147 l745 - 229 45 62 84 131 148 l746 - 229 46 63 85 127 149 l747 - 229 47 69 91 108 155 l748 - 229 48 70 87 109 156 l749 - 229 49 71 88 110 152 l750 - 229 50 67 89 111 153 l751 - 229 51 68 90 107 154 l752 - 229 52 74 96 113 135 l753 - 229 53 75 92 114 136 l754 - 229 54 76 93 115 132 l755 - 229 55 72 94 116 133 l756 - 229 56 73 95 112 134 l757 - 230 32 80 98 121 139 l758 - 230 33 81 99 117 140 l759 - 230 34 77 100 118 141 l760 - 230 35 78 101 119 137 l761 - 230 36 79 97 120 138 l762 - 330 37 60 103 126 144 l763 - 330 38 61 104 122 145 l764 - 330 39 57 105 123 146 l765 - 330 40 58 106 124 142 l766 - 330 41 59 102 125 143 l767 - 330 42 65 83 131 149 l768 - 330 43 66 84 127 150 l769 - 330 44 62 85 128 151 l770 - 330 45 63 86 129 147 l771 - 330 46 64 82 130 148 l772 - 330 47 70 88 111 154 l773 - 330 48 71 89 107 155 l774 - 330 49 67 90 108 156 l775 - 330 50 68 91 109 152 l776 - 330 51 69 87 110 153 l777 - 330 52 75 93 116 134 l778 - 330 53 76 94 112 135 l779 - 330 54 72 95 113 136 l780 - 330 55 73 96 114 132 l781 - 330 56 74 92 115 133 l782 - 331 32 81 100 119 138 l783 - 331 33 77 101 120 139 l784 - 331 34 78 97 121 140 l785 - 331 35 79 98 117 141 l786 - 331 36 80 99 118 137 l787 - 331 37 61 105 124 143 l788 - 331 38 57 106 125 144 l789 - 331 39 58 102 126 145 l790 - 331 40 59 103 122 146 l791 - 331 41 60 104 123 142 l792 - 431 42 66 85 129 148 l793 - 431 43 62 86 130 149 l794 - 431 44 63 82 131 150 l795 - 431 45 64 83 127 151 l796 - 431 46 65 84 128 147 l797 - 431 47 71 90 109 153 l798 - 431 48 67 91 110 154 l799 - 431 49 68 87 111 155 l800 - 31 50 69 88 107 156 l801 - 31 51 70 89 108 152 l802 - 31 52 76 95 114 133 l803 - 31 53 72 96 115 134 l804 - 31 54 73 92 116 135 l805 - 31 55 74 93 112 136 l806 - 31 56 75 94 113 132 The predefined automorphism is of order 3 with six fixed points and two fixed lines it acts on the points as 12 2 17 27 22 7 18 3 11 24 30 13 1 16 14 15 8 6 21 29 25 28 4 26 19 10 23 5 31 9 20 125 155 35 65 95 130 135 40 70 100 110 140 45 75 105 115 145 50 80 85 120 150 55 60 90 89 119 149 54 59 94 124 154 34 64 99 129 134 39 69 104 109 139 44 74 84 114 144 49 79 78 83 113 143 48 58 88 118 148 53 63 93 123 153 33 68 98 128 133 38 73 103 108 138 43 42 72 102 107 137 47 77 82 112 142 52 57 87 117 147 32 62 92 122 152 37 67 97 127 132 136 41 71 101 131 141 46 76 106 111 146 51 81 86 116 151 56 61 91 121 156 36 66 96 126 The matrix which defines this permutation is 0 0 4 3 1 1 3 3 1 0 4 3 0 0 0 1 the same permutation in cyclic notation: (1,12,13)(2)(3,17,8)(4,27,23)(5,22,28)(6,7,18)(9,11,30)(10,24,26)(14,16,15) (19,21,25)(20,29,31)(32,125,122)(33,155,96)(34,35,65)(36,95,153)(37,130,127)(38,135,101) (39,40,70)(41,100,133)(42,110,107)(43,140,106)(44,45,75)(46,105,138)(47,115,112)(48,145,86) (49,50,80)(51,85,143)(52,120,117)(53,150,91)(54,55,60)(56,90,148)(57,89,118)(58,119,87) (59,149,61)(62,94,123)(63,124,92)(64,154,66)(67,99,128)(68,129,97)(69,134,71)(72,104,108) (73,109,102)(74,139,76)(77,84,113)(78,114,82)(79,144,81)(83)(88)(93)(98)(103)(111,137,141) (116,142,146)(121,147,151)(126,152,156)(131,132,136) the automorphism acts on the blocks as 32 66 3 153 95 124 310 315 320 325 330 329 309 314 319 324 323 328 308 313 318 317 322 327 307 312 316 321 326 331 311 33 1 36 34 35 55 60 40 45 50 49 54 59 39 44 43 48 53 58 38 37 42 47 52 57 61 41 46 51 56 4 65 126 93 154 445 440 435 455 450 444 439 434 454 449 443 438 433 453 448 442 437 432 452 447 446 441 436 456 451 94 63 156 125 6 690 700 685 695 705 699 684 694 704 689 683 693 703 688 698 692 702 687 697 682 706 691 701 686 696 155 64 96 5 123 580 570 560 575 565 559 574 564 579 569 563 578 568 558 573 567 557 572 562 577 576 566 581 571 561 122 62 2 152 92 200 205 185 190 195 189 194 199 204 184 203 183 188 193 198 192 197 202 182 187 186 191 196 201 206 467 466 460 479 473 472 471 465 459 478 477 476 470 464 458 457 481 475 469 463 462 461 480 474 468 82 91 70 74 78 86 90 69 73 77 85 89 68 72 81 84 88 67 76 80 83 87 71 75 79 298 304 285 291 292 303 284 290 296 297 283 289 295 301 302 288 294 300 306 282 293 299 305 286 287 629 617 610 623 616 609 622 615 628 621 614 627 620 608 626 619 607 625 613 631 624 612 630 618 611 766 773 760 767 779 771 778 765 772 759 776 758 770 777 764 781 763 775 757 769 761 768 780 762 774 332 336 335 334 333 337 341 340 339 338 342 346 345 344 343 347 351 350 349 348 352 356 355 354 353 25 31 7 13 19 26 27 8 14 20 22 28 9 15 21 23 29 10 16 17 24 30 11 12 18 408 409 410 411 407 413 414 415 416 412 418 419 420 421 417 423 424 425 426 422 428 429 430 431 427 359 357 360 358 361 364 362 365 363 366 369 367 370 368 371 374 372 375 373 376 379 377 380 378 381 386 383 385 382 384 391 388 390 387 389 396 393 395 392 394 401 398 400 397 399 406 403 405 402 404 222 231 210 214 218 227 211 215 219 223 207 216 220 224 228 212 221 225 229 208 217 226 230 209 213 173 179 160 166 167 174 180 161 162 168 175 181 157 163 169 176 177 158 164 170 172 178 159 165 171 543 539 535 556 547 548 544 540 536 552 553 549 545 541 532 533 554 550 546 537 538 534 555 551 542 739 747 735 743 756 744 752 740 748 736 749 732 745 753 741 754 737 750 733 746 734 742 755 738 751 656 643 635 647 639 636 648 640 652 644 641 653 645 632 649 646 633 650 637 654 651 638 655 642 634 712 726 710 719 728 717 731 715 724 708 722 711 720 729 713 727 716 725 709 718 707 721 730 714 723 114 117 100 103 111 112 120 98 106 109 115 118 101 104 107 113 121 99 102 110 116 119 97 105 108 678 669 660 676 662 658 674 665 681 667 663 679 670 661 672 668 659 675 666 677 673 664 680 671 657 494 487 485 503 501 499 492 490 483 506 504 497 495 488 486 484 502 500 493 491 489 482 505 498 496 276 278 260 262 269 281 258 265 267 274 261 263 270 272 279 266 268 275 277 259 271 273 280 257 264 602 596 585 599 588 582 601 590 604 593 587 606 595 584 598 592 586 600 589 603 597 591 605 594 583 146 148 130 132 139 143 150 127 134 141 145 147 129 136 138 142 149 131 133 140 144 151 128 135 137 788 799 785 796 802 793 804 790 801 782 798 784 795 806 787 803 789 800 786 792 783 794 805 791 797 249 252 235 238 246 254 232 240 243 251 234 237 245 248 256 239 242 250 253 236 244 247 255 233 241 521 513 510 527 524 526 518 515 507 529 531 523 520 512 509 511 528 525 517 514 516 508 530 522 519 We construct the following eight non isomorphic regular parallelisms: R 1 - full automorphism group of order 3 1 182 212 242 272 302 318 348 378 383 413 454 459 489 519 549 565 595 625 655 660 701 731 736 766 796 2 42 70 118 146 169 330 333 363 395 424 451 477 484 512 546 568 600 631 636 665 689 719 747 778 782 3 48 67 115 132 178 191 224 233 268 304 445 478 490 526 536 559 592 627 639 673 697 710 746 780 787 4 37 73 110 143 177 193 216 235 280 301 319 340 358 403 425 570 589 611 656 674 696 713 734 779 798 5 50 90 103 144 158 189 227 243 257 299 331 344 359 401 415 442 460 497 513 553 698 716 755 770 786 6 61 78 101 145 165 194 228 241 273 284 325 335 367 406 412 452 464 499 507 543 558 596 630 640 676 7 60 72 108 123 174 187 256 270 298 328 342 375 389 441 469 522 555 588 624 646 677 704 715 743 801 8 45 79 92 142 181 226 244 260 303 323 332 396 430 434 475 502 518 561 620 654 672 692 708 756 799 9 58 83 95 141 166 205 207 248 289 353 376 387 410 456 465 524 533 572 586 629 638 684 752 775 791 10 57 85 96 140 163 195 211 238 279 309 366 393 427 446 480 482 539 594 610 637 678 683 717 781 790 11 53 91 106 139 154 192 209 276 288 311 373 390 419 471 500 508 537 560 593 614 647 699 707 741 795 12 54 89 109 122 159 222 254 264 296 316 343 361 423 440 485 531 544 578 599 612 633 702 720 757 800 13 56 87 107 124 161 204 217 259 297 349 381 391 418 438 470 483 550 562 607 653 671 705 726 739 760 14 55 77 98 150 153 186 255 275 291 345 377 397 409 439 476 496 528 557 598 618 662 688 729 769 785 15 52 62 121 128 170 215 245 281 286 314 374 385 428 443 473 527 532 571 601 613 679 700 712 742 759 16 36 71 114 149 167 196 225 234 263 327 341 360 394 448 457 506 515 579 583 617 651 695 714 753 772 17 40 74 112 151 156 199 231 237 269 307 339 379 417 453 468 511 551 566 621 648 659 722 733 777 788 18 38 88 105 126 176 200 220 232 277 317 334 399 416 462 504 510 547 564 606 626 669 686 740 771 805 19 44 65 116 130 180 198 214 236 306 312 347 369 404 466 495 530 534 576 628 632 667 690 725 758 793 20 35 76 117 127 173 203 221 239 285 324 352 370 411 450 458 491 542 581 584 622 663 687 730 748 794 21 33 75 119 131 175 190 246 274 282 326 362 405 408 447 493 516 554 563 609 652 670 694 735 773 806 22 51 64 120 134 157 202 223 271 287 310 356 365 426 444 472 486 514 605 608 642 675 693 754 763 784 23 59 69 93 133 168 201 252 261 292 308 337 380 420 481 494 523 541 575 604 635 664 682 718 738 774 24 34 81 100 135 179 197 229 258 290 313 350 384 421 449 461 520 552 580 582 641 668 706 723 767 789 25 39 80 94 148 164 206 210 266 295 315 351 371 402 433 505 525 538 567 587 623 661 728 732 768 797 26 46 63 97 147 171 183 250 265 293 322 336 392 431 435 463 503 545 574 602 616 644 709 737 776 804 27 43 68 113 138 152 218 240 278 300 321 355 372 386 432 479 488 548 569 591 634 681 685 749 762 792 28 47 84 99 136 155 185 219 249 305 329 338 398 407 436 487 517 556 597 615 645 658 703 721 751 764 29 32 86 104 137 160 230 251 262 283 346 357 388 429 467 498 509 540 603 619 650 666 724 745 761 802 30 41 82 111 125 162 184 213 253 294 320 364 382 422 437 474 492 529 573 585 643 680 727 750 765 783 31 49 66 102 129 172 188 208 247 267 354 368 400 414 455 501 521 535 577 590 649 657 691 711 744 803 R 2 - full automorphism group of order 93, corresponds to one of Prince's regular cyclic parallelisms 1 182 212 242 272 302 319 349 379 384 414 456 461 491 521 551 563 593 623 653 658 700 730 735 765 795 2 47 84 121 128 165 311 352 376 393 413 449 471 487 507 556 565 584 629 650 667 703 723 745 764 785 3 48 67 115 132 178 191 224 233 268 304 445 478 490 526 536 559 592 627 639 673 697 710 746 780 787 4 53 69 107 147 164 185 223 238 280 294 317 336 374 391 427 564 604 620 632 675 701 712 756 768 783 5 59 82 111 136 157 187 219 247 281 286 321 351 380 383 415 448 477 484 514 542 685 713 743 775 804 6 45 87 110 129 174 183 218 252 265 297 329 341 375 386 419 451 457 496 528 538 567 605 614 649 660 7 51 85 102 126 179 193 215 254 276 330 347 394 416 481 495 523 537 577 588 621 674 689 753 767 800 8 34 74 112 139 177 201 211 271 306 320 350 405 410 444 474 529 534 573 583 643 678 682 727 772 792 9 35 72 116 141 180 205 210 250 290 324 339 359 429 438 473 503 533 572 587 607 677 706 711 751 791 10 32 86 118 135 167 213 243 278 283 345 360 390 430 467 482 512 552 589 619 654 659 731 741 761 796 11 60 64 106 146 170 198 217 266 285 322 334 365 421 439 458 501 520 600 613 644 657 686 749 762 793 12 40 91 96 142 168 197 228 241 267 313 368 399 407 436 462 502 546 601 609 656 664 704 719 758 798 13 55 80 101 151 156 194 231 251 258 312 353 373 417 443 459 524 540 566 610 655 671 725 732 777 789 14 58 63 113 140 161 184 256 274 291 326 332 392 428 450 468 504 539 562 585 622 645 721 733 763 805 15 33 90 98 137 175 203 246 260 289 325 363 402 411 447 505 509 543 579 612 651 670 691 744 773 782 16 36 78 117 144 158 186 220 239 273 315 344 378 382 434 463 497 531 568 602 626 635 692 716 755 774 17 46 68 95 150 172 200 221 253 288 343 357 387 431 442 472 530 535 569 599 611 641 698 740 779 784 18 61 70 114 122 162 230 236 270 301 318 338 372 409 437 499 508 553 575 606 615 646 694 714 757 802 19 42 88 97 143 153 199 237 277 284 342 366 406 425 435 479 494 513 576 603 618 661 683 715 770 797 20 39 89 105 124 173 202 208 262 293 355 361 395 426 446 466 500 532 560 628 648 665 688 722 742 781 21 57 83 104 130 152 209 245 264 300 316 356 358 398 454 465 492 547 580 582 637 669 693 736 776 803 22 49 62 119 134 159 214 248 269 303 308 381 397 412 441 475 511 545 557 596 624 679 690 718 752 760 23 38 73 120 123 171 196 234 275 305 310 354 370 389 452 476 517 541 590 631 636 672 699 707 737 794 24 43 66 100 149 169 204 225 240 261 333 367 388 422 432 493 527 548 570 591 634 680 696 724 739 806 25 41 65 103 138 181 195 229 232 287 314 348 369 403 460 488 522 555 558 625 640 668 702 717 759 799 26 37 77 94 148 163 190 226 259 295 331 335 371 400 433 489 518 554 574 594 630 663 728 748 766 786 27 56 75 108 127 155 189 227 249 292 328 346 385 423 455 486 516 550 595 608 638 681 687 709 747 769 28 44 81 99 125 176 192 207 255 299 323 364 404 408 440 469 506 510 571 586 647 662 720 738 778 801 29 50 71 93 145 166 206 235 263 298 307 340 377 420 464 483 525 544 578 597 642 666 684 726 754 771 30 52 79 92 133 160 216 244 279 282 309 337 396 424 453 470 498 515 561 617 652 676 705 708 750 788 31 54 76 109 131 154 188 222 257 296 327 362 401 418 480 485 519 549 581 598 616 633 695 729 734 790 R 3 - 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full automorphism group of order 3 1 182 213 244 275 306 329 335 366 392 423 451 477 483 514 545 568 599 630 636 662 690 721 747 778 784 2 38 78 118 133 173 319 334 375 387 430 446 461 499 515 554 570 585 622 641 677 692 707 751 764 806 3 48 67 115 132 178 191 224 233 268 304 445 478 490 526 536 559 592 627 639 673 697 710 746 780 787 4 61 77 101 143 163 199 209 242 278 287 327 341 376 382 419 565 598 610 646 681 693 730 739 775 783 5 40 86 104 149 171 189 223 234 267 302 316 347 361 393 428 437 474 482 521 556 688 726 733 769 804 6 47 76 98 148 176 204 207 237 269 298 318 351 380 385 416 436 464 496 522 552 575 603 609 638 670 7 60 66 103 146 167 197 228 240 271 345 364 402 426 438 506 519 550 574 587 655 668 691 729 748 792 8 53 72 92 150 169 221 255 273 282 317 349 406 408 450 468 484 527 576 628 635 669 704 722 736 795 9 34 74 116 137 179 200 230 260 290 324 354 384 414 453 463 523 533 562 582 652 672 706 716 776 786 10 42 81 94 142 181 188 229 270 286 315 342 381 383 444 503 512 535 571 605 607 664 718 734 766 802 11 36 75 114 141 180 196 226 236 266 320 350 360 390 434 469 489 524 563 583 623 643 682 717 737 772 12 33 91 97 139 175 192 250 279 288 309 372 391 420 456 494 508 537 578 611 640 674 685 743 777 801 13 32 90 99 138 172 208 247 281 295 355 369 398 412 467 501 510 539 604 613 632 671 711 740 774 803 14 50 84 93 151 160 183 254 276 291 321 336 378 424 462 500 517 555 569 584 648 663 702 715 732 770 15 51 87 112 128 154 203 211 263 296 310 379 399 415 457 498 531 542 577 593 626 637 684 725 745 789 16 35 80 117 145 157 201 210 239 292 330 344 363 411 454 458 497 540 573 602 621 659 687 731 750 793 17 43 82 119 124 161 187 218 272 303 346 358 389 431 449 480 492 532 566 620 651 660 700 709 754 763 18 44 85 120 123 159 186 243 277 297 312 332 374 394 440 460 528 548 591 625 645 679 683 714 756 796 19 58 63 100 134 174 190 248 258 305 314 343 400 429 432 466 502 546 561 597 631 642 720 749 759 788 20 56 70 121 135 153 194 253 264 283 352 359 395 422 443 475 486 513 557 606 612 676 705 724 771 790 21 54 89 96 130 165 195 225 232 262 323 365 404 409 442 472 491 553 589 619 656 661 701 708 768 805 22 49 71 105 147 156 206 220 251 265 325 339 357 427 448 471 516 534 567 608 647 678 713 744 779 785 23 45 88 95 140 158 198 227 245 285 338 367 403 407 447 465 530 543 581 601 614 634 694 741 761 799 24 57 62 108 131 164 216 256 259 299 313 368 401 410 455 470 507 547 579 594 615 658 696 712 752 773 25 59 64 109 127 166 185 219 280 289 328 337 370 425 452 473 488 509 596 624 633 666 686 742 781 797 26 46 68 107 126 177 184 217 241 274 307 356 397 421 479 487 511 544 580 588 618 675 703 735 765 798 27 39 83 110 125 162 205 212 246 301 322 377 386 418 441 481 485 525 558 595 653 665 723 738 767 782 28 41 65 113 136 168 202 222 235 294 308 340 373 405 459 504 518 538 564 617 649 657 695 728 762 800 29 55 73 111 129 152 214 252 257 300 311 353 371 388 433 476 493 541 572 590 654 667 699 755 760 794 30 52 69 106 122 170 231 238 261 293 326 333 362 417 439 505 520 549 560 600 629 644 698 727 757 791 31 37 79 102 144 155 193 215 249 284 331 348 396 413 435 495 529 551 586 616 650 680 689 719 753 758 R 5 - full automorphism group of order 93, corresponds to one of Prince's regular cyclic parallelisms 1 182 213 244 275 306 329 335 366 392 423 451 477 483 514 545 568 599 630 636 662 690 721 747 778 784 2 51 73 100 147 174 314 343 374 402 407 455 461 488 521 550 567 597 631 634 666 683 715 745 773 804 3 48 67 115 132 178 191 224 233 268 304 445 478 490 526 536 559 592 627 639 673 697 710 746 780 787 4 56 81 105 128 180 204 207 239 270 300 312 346 373 403 411 560 590 617 651 677 693 724 756 759 788 5 53 75 119 140 158 189 223 234 267 302 322 332 370 406 415 436 469 503 513 549 705 716 751 760 793 6 46 79 114 151 160 195 212 232 280 301 313 336 378 399 419 434 479 500 517 540 577 598 621 641 658 7 45 85 110 150 152 222 256 264 293 317 338 380 401 446 475 487 554 574 591 653 670 698 744 765 802 8 47 72 118 143 156 198 219 236 277 330 351 359 417 449 457 520 553 581 622 643 660 708 750 779 796 9 36 83 120 136 168 206 226 241 261 328 348 363 383 450 460 505 515 562 602 607 647 699 709 754 764 10 52 78 117 123 163 193 254 265 282 311 353 367 389 435 471 527 538 587 620 656 659 694 730 733 791 11 54 76 94 149 171 197 220 263 286 323 339 371 382 440 492 524 533 566 593 609 675 712 735 776 794 12 33 91 97 139 175 192 250 279 288 309 372 391 420 456 494 508 537 578 611 640 674 685 743 777 801 13 32 90 99 138 172 208 247 281 295 355 369 398 412 467 501 510 539 604 613 632 671 711 740 774 803 14 60 70 107 142 154 203 215 276 283 321 361 397 430 462 499 519 556 564 584 625 645 702 718 738 782 15 50 65 98 144 179 186 216 253 294 327 350 362 385 472 495 507 555 563 629 646 676 684 714 768 798 16 58 77 93 127 176 196 237 259 299 319 352 358 413 473 486 528 541 572 585 642 680 700 731 739 770 17 43 68 92 148 173 225 255 262 292 315 354 396 410 444 481 497 509 557 624 638 668 691 723 753 786 18 34 71 102 145 181 184 227 273 296 326 344 390 408 453 466 522 535 575 588 654 667 682 720 781 789 19 44 86 121 124 159 190 210 278 298 341 375 395 429 433 464 506 546 561 618 652 672 687 707 749 769 20 59 74 96 146 161 185 231 245 266 308 368 405 426 447 459 489 542 582 612 649 679 696 728 763 800 21 57 82 106 131 153 201 235 271 290 337 377 384 424 448 480 491 518 570 606 608 663 704 719 757 797 22 40 87 111 133 155 199 217 252 289 316 334 404 422 432 498 512 543 601 619 633 681 703 713 736 771 23 49 89 101 125 162 200 230 246 284 307 364 394 427 441 474 493 531 573 603 635 665 726 737 767 783 24 41 63 103 137 177 187 248 257 303 324 345 388 409 443 458 504 547 580 589 610 644 727 742 775 790 25 42 88 95 141 157 205 218 238 285 347 381 387 421 454 465 523 534 558 594 614 650 701 752 761 792 26 61 62 108 129 165 221 249 258 291 318 360 400 428 442 463 511 552 565 605 626 669 689 729 732 772 27 39 84 109 122 164 228 243 272 287 310 342 376 431 452 482 516 548 571 586 615 655 688 725 758 795 28 38 66 113 134 167 202 209 242 274 340 379 386 425 439 485 530 544 576 596 637 657 695 722 741 806 29 35 80 116 130 166 183 229 240 297 320 356 357 414 437 468 484 551 569 600 616 678 686 717 748 805 30 37 64 112 135 169 194 214 260 305 325 333 365 418 438 476 496 529 595 628 648 661 706 734 766 799 31 55 69 104 126 170 188 211 251 269 331 349 393 416 470 502 525 532 579 583 623 664 692 755 762 785 R 6 - 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full automorphism group of order 3 1 182 216 245 274 303 314 343 372 406 410 446 475 504 508 537 573 602 611 640 669 705 709 738 767 801 2 44 90 111 127 173 325 336 371 405 413 442 477 489 523 534 566 599 610 644 681 683 720 753 762 797 3 48 67 115 132 178 191 224 233 268 304 445 478 490 526 536 559 592 627 639 673 697 710 746 780 787 4 40 72 110 144 179 202 226 246 262 284 329 347 367 389 408 581 598 618 641 657 703 724 744 763 786 5 60 75 113 129 168 188 229 243 260 300 317 333 376 391 428 449 465 505 519 532 686 722 739 777 796 6 47 70 114 134 180 203 212 250 257 293 320 356 364 399 411 434 469 502 513 547 576 583 621 655 665 7 57 63 104 146 170 190 253 271 297 326 339 402 420 438 481 500 544 574 605 612 643 717 741 779 798 8 61 65 105 145 171 193 211 255 299 310 348 379 392 459 497 528 546 577 626 645 658 694 725 781 782 9 54 74 96 147 167 200 209 252 266 328 360 387 426 447 463 486 554 582 614 648 680 706 715 774 783 10 46 82 107 148 154 192 213 259 305 308 362 396 429 457 503 520 541 569 586 615 652 685 714 756 793 11 53 88 102 137 156 186 219 240 273 312 346 358 425 439 472 510 543 570 616 632 674 713 734 776 792 12 39 62 109 149 174 220 238 280 298 322 357 393 416 453 458 512 542 565 601 631 660 696 727 750 761 13 55 89 108 122 161 221 256 272 282 324 345 380 414 437 493 525 535 558 604 617 638 701 728 759 791 14 33 87 101 141 175 199 237 281 285 321 359 398 427 443 501 530 539 575 608 642 666 682 740 769 803 15 52 81 97 151 155 195 227 235 287 309 350 390 431 436 492 529 549 603 619 647 663 693 726 733 766 16 37 83 119 140 152 218 251 258 291 319 335 363 404 448 464 484 553 561 606 650 670 690 755 771 799 17 58 69 112 123 165 194 248 279 288 327 341 361 395 451 460 517 556 593 624 633 664 700 712 732 805 18 43 86 117 124 157 201 210 267 306 344 375 384 415 455 461 498 538 564 629 646 672 687 718 752 758 19 59 66 99 136 172 197 207 254 264 349 378 388 417 456 495 511 540 580 596 635 676 698 708 737 794 20 41 64 118 143 166 204 208 265 294 323 352 368 407 435 470 487 522 589 630 634 675 692 749 778 788 21 42 68 92 150 176 215 236 275 296 330 337 397 409 441 473 494 531 563 607 653 667 699 729 743 785 22 38 76 120 125 169 189 230 249 295 311 377 401 412 450 466 496 507 567 597 654 659 719 735 765 806 23 45 80 121 131 153 196 232 276 302 355 365 383 418 444 462 506 524 572 591 609 679 688 723 760 795 24 50 91 98 126 163 184 214 247 277 313 351 386 419 480 485 518 548 557 587 628 671 691 754 770 800 25 35 79 100 135 181 205 217 239 283 331 338 370 424 432 479 491 550 568 590 622 661 684 721 748 802 26 49 73 94 128 177 187 223 261 292 318 354 374 385 440 482 527 545 571 600 613 678 731 751 764 784 27 34 85 106 138 159 206 222 269 290 307 353 400 421 433 474 516 552 579 585 637 668 695 711 773 789 28 32 77 116 130 164 228 234 270 301 340 381 382 423 467 483 514 555 594 625 636 662 716 747 768 804 29 56 78 93 133 160 198 241 278 286 315 334 369 430 476 488 521 533 562 595 649 677 704 707 742 775 30 36 84 103 139 158 185 231 242 263 316 332 373 394 452 468 499 515 578 584 620 651 689 730 736 772 31 51 71 95 142 162 183 225 244 289 342 366 403 422 454 471 509 551 560 588 623 656 702 745 757 790 R 8 - full automorphism group of order 3 1 182 217 252 262 297 325 335 370 405 415 438 473 483 518 553 581 591 626 636 671 694 729 739 774 784 2 38 87 116 140 164 310 340 367 401 427 434 464 495 522 555 557 587 621 649 681 686 716 744 775 804 3 48 67 115 132 178 191 224 233 268 304 445 478 490 526 536 559 592 627 639 673 697 710 746 780 787 4 39 75 107 145 179 206 223 246 265 285 328 347 368 391 411 580 601 620 637 657 702 725 742 763 783 5 42 89 108 129 172 201 208 242 278 291 318 354 363 400 410 439 472 486 521 552 705 715 749 757 794 6 46 70 117 142 170 194 226 255 261 289 315 343 372 402 408 432 462 496 524 556 578 584 613 645 675 7 51 74 120 143 154 195 228 266 299 314 381 393 422 475 504 512 546 573 602 615 644 692 726 738 805 8 59 84 96 138 163 202 209 243 275 321 357 398 430 453 476 485 544 583 624 656 667 695 722 779 786 9 52 79 119 123 162 198 237 281 284 316 355 358 397 440 457 529 551 586 614 650 678 699 713 735 802 10 33 78 104 149 175 186 241 271 306 309 364 394 429 452 492 507 537 570 630 640 660 703 743 758 788 11 49 91 95 134 176 192 215 249 283 346 373 382 414 436 463 520 547 560 594 612 651 693 741 759 800 12 37 64 111 150 173 189 219 273 303 320 338 374 409 433 481 493 516 600 611 654 665 701 755 760 796 13 32 85 109 128 177 211 250 279 293 349 378 387 421 467 501 510 539 595 609 638 677 723 732 781 790 14 60 66 112 141 161 199 210 253 264 334 376 406 418 446 500 530 541 558 588 642 672 682 712 754 795 15 36 81 121 144 159 203 212 236 270 307 341 375 404 456 460 494 523 565 599 618 652 689 708 747 771 16 41 82 118 139 152 220 248 260 288 308 353 369 389 437 474 502 534 575 582 643 680 704 740 772 792 17 54 65 103 147 160 188 229 251 296 317 333 362 403 480 484 519 548 561 625 641 670 690 707 777 799 18 45 62 113 127 181 230 234 269 298 322 360 395 412 441 458 528 550 574 596 631 664 688 717 752 761 19 58 83 105 130 155 205 207 247 290 331 350 392 416 444 503 514 533 593 629 648 659 687 711 751 770 20 35 86 99 148 166 185 213 256 292 319 332 380 426 448 461 489 545 572 590 608 679 696 724 737 803 21 53 73 101 125 180 187 218 235 300 330 359 390 424 451 477 491 517 564 606 646 658 719 753 773 782 22 43 63 97 151 169 204 240 274 295 311 351 388 428 450 459 487 542 577 585 619 647 718 733 766 806 23 40 88 110 133 153 196 232 276 302 356 366 384 419 454 468 499 513 562 597 628 661 683 714 767 798 24 61 69 92 135 168 216 254 258 301 312 348 386 417 449 469 482 527 563 610 655 668 700 720 756 789 25 34 90 106 131 167 184 221 280 287 313 345 399 431 447 479 508 540 566 598 632 669 685 727 776 793 26 57 76 98 137 156 200 214 245 259 326 352 371 407 443 466 511 554 569 622 653 663 730 748 762 785 27 55 68 102 126 171 197 231 238 267 329 344 385 425 465 505 509 549 571 603 607 662 698 736 768 791 28 44 80 100 124 174 193 222 277 286 339 379 383 423 455 470 488 532 567 616 634 674 706 721 750 765 29 56 77 94 136 157 183 225 263 305 327 337 361 396 435 498 515 543 579 589 617 676 731 734 769 797 30 50 72 114 122 158 227 239 257 294 324 336 365 420 442 497 531 538 568 605 623 635 691 709 778 801 31 47 71 93 146 165 190 244 272 282 323 342 377 413 471 506 525 535 576 604 633 666 684 728 745 764 The eight regular parallelisms we construct are partitioned in 4 groups of duals: R1 <-> R7 R2 <-> R5 - the cyclic ones R3 <-> R8 R4 <-> R6